买卖权平价

两位投资者，同一个结局

小王和小李都看好一只现价 $100 的股票，又都担心它下跌。两人想了不同的办法：

小王买入 1 股股票，同时买入 1 份行权价 $100 的欧式看跌期权，给股票上了「保险」。
小李把一笔钱存进银行，这笔钱连本带息到期时正好是 $100；再用剩下的钱买入 1 份行权价 $100 的欧式看涨期权。

到期时会怎样？

如果股价涨到 $130：小王的股票值 $130，看跌期权作废，合计 $130；小李的看涨期权值 $30，加上存款 $100，合计 $130。
如果股价跌到 $70：小王的股票值 $70，看跌期权值 $30，合计 $100；小李的看涨期权作废，存款 $100，合计 $100。

无论股价走到哪里，两人到期时的财富一模一样：都是「股价与 $100 中较大的那个」。既然到期结局完全相同，那么两个组合今天的成本也必须相同——否则就存在白赚的机会。这条朴素的推理，就是买卖权平价（Put-Call Parity）。

推导：把结局写成公式

设标的现价为 $S$ ，欧式看涨、看跌期权的行权价都是 $K$ 、到期时间都是 $T$ ，价格分别为 $C$ 和 $P$ ，无风险利率为 $r$ （连续复利），标的不派息。

组合 A（小李）：1 份看涨期权 + 一笔到期本息为 $K$ 的存款（今天需要 $K e^{- r T}$ ）。
组合 B（小王）：1 份看跌期权 + 1 股股票。

到期时股价	组合 A：看涨 + 存款	组合 B：看跌 + 股票
$S_{T} > K$	$(S_{T} - K) + K = S_{T}$	$0 + S_{T} = S_{T}$
$S_{T} \leq K$	$0 + K = K$	$(K - S_{T}) + S_{T} = K$

两个组合到期时的价值都等于 $max (S_{T}, K)$ 。根据无套利原则——两个在所有情况下结果都相同的组合，今天必须价格相同——得到：

C + K e^{- r T} = P + S

移项就是最常见的形式：

C - P = S - K e^{- r T}

用数字验证

取一组熟悉的参数：股价 $100、行权价 $100、90 天到期、利率 4%。行权价的现值为

K e^{- r T} = 100 \times e^{- 0.04 \times 90/365} \approx 99.0185

所以平价要求 $C - P = 100 - 99.0185 = 0.9815$ 。

用 Black-Scholes 模型、波动率 25% 计算，看涨期权为 $5.4313，看跌期权为 $4.4498，差额正好是 0.9815。把波动率改成 50%，两者都大幅变贵（看涨 $10.3296，看跌 $9.3481），但差额仍然是 0.9815。

这正说明平价关系与波动率无关：波动率决定了期权的「水位」，平价关系锁定了看涨与看跌之间的「落差」。也正因为如此，只要知道看涨期权的价格，就能算出同条件看跌期权的价格，反之亦然。

当平价被打破：套利

假设某一刻你在市场上看到（同样是股价 $100、行权价 $100、90 天、利率 4%）：

看涨期权报价 $6.00，看跌期权报价 $4.00。

此时 $C - P = 2.00$ ，比平价要求的 0.9815 多出约 $1.02。看涨期权相对太贵，看跌期权相对太便宜。

转换（Conversion）

套利的原则永远是「卖贵的，买便宜的」，再用股票对冲掉方向风险：

转换套利（每股）

卖出看涨期权，收入 $6.00；买入看跌期权，支出 $4.00；买入 1 股股票，支出 $100。今天的净支出为 $100 + 4 - 6 = 98$ 美元，按 4% 借入这 $98。
到期时，无论股价是多少，这个组合都会以 $100 卖出股票：若股价高于 $100，看涨期权被行权，你按 $100 交出股票；若股价低于 $100，你行使看跌期权，按 $100 卖出股票。
偿还借款本息： $98 \times e^{0.04 \times 90/365} \approx 98.97$ 美元。
净利润约 $100 - 98.97 = 1.03$ 美元/股，每组合约（100 股）约 $103，并且在开仓时就已锁定，与股价走势无关。

用两个具体的到期价格检验一下（每股）：

到期股价	股票	买入的看跌（K=100）	卖出的看涨（K=100）	组合合计
$80	$80	+$20	$0	$100
$120	$120	$0	−$20	$100

无论股价是 $80 还是 $120，组合到期都恰好值 $100，扣掉 $98.97 的借款本息，剩下的约 $1.03 就是锁定的利润。再验证一下：开仓时多收到的 $2.00 - 0.9815 = 1.0185$ 美元，按 4% 计息 90 天，正好约为 $1.03。

反转（Reversal）

反过来，如果看涨期权 $5.00、看跌期权 $4.50， $C - P = 0.50$ ，低于平价要求的 0.9815，看涨期权相对便宜。操作方向全部反过来：买入看涨、卖出看跌、卖空股票。今天净收入 $100 - 5 + 4.5 = 99.5$ 美元，存起来到期变为约 $100.49；到期时组合让你恰好以 $100 买回股票还券，净赚约 $0.49/股。

合成头寸：用积木拼出另一块积木

把平价公式换一种写法，每一种都对应一个实用的结论：

改写形式	含义	对应的策略
$C = P + S - K e^{- r T}$	看涨期权 = 看跌期权 + 股票 − 借款	保护性看跌与买入看涨的到期损益形状相同
$P = C - S + K e^{- r T}$	看跌期权 = 看涨期权 + 卖空股票 + 存款	合成看跌
$S = C - P + K e^{- r T}$	股票 = 买看涨 + 卖看跌 + 存款	合成多头
$S - C = K e^{- r T} - P$	持股并卖看涨 = 存款 + 卖看跌	备兑开仓与卖出看跌期权的到期损益形状相同

最后一行常常让人意外：备兑开仓和现金担保看跌，在同一行权价、同一到期日下，到期损益的形状完全一样。很多人觉得「备兑开仓很保守、卖看跌期权很激进」，从风险结构上看，两者其实是同一个东西的两种包装。

合成头寸在实践中很有用：借券困难时，可以用「卖看涨 + 买看跌」构造合成空头；做市商则常用股票把期权头寸「转换」成另一种期权头寸来管理风险。

平价关系的三种实际用途

即使你从不做套利，平价关系在日常交易中也很有用：

校验报价：同一行权价的看涨、看跌期权价格应该「咬合」在一起。如果某个报价明显偏离平价（超出交易成本），它很可能是过时的、成交稀少的，或者背后有你不知道的信息（例如即将派发的特别股息、借券困难）。
反推隐含远期价格：把公式改写为 $F = K + (C - P) e^{r T}$ ，就能从期权价格中反推出市场认可的远期价格。上面的例子中， $C - P = 0.9815$ 对应 $F \approx 100 + 0.9815 \times e^{0.04 \times 90/365} \approx 100.99$ ，正好等于 $S e^{r T}$ 。如果反推出来的远期价格明显偏低，往往说明市场预期期内会派发股息，或者这只股票借券成本很高。
选择更便宜的建仓方式：同一个风险敞口往往有多种构建方式（例如直接持股 vs 合成多头，买看涨 vs 持股加买看跌）。比较它们的成本和资金占用，可以选出更划算的一种。

有股息时

如果标的在期权存续期内派发股息，持有股票的组合 B 会收到股息，而持有看涨期权的组合 A 收不到。平价公式需要从股价中扣掉股息的现值：

C - P = S e^{- q T} - K e^{- r T}

这里 $q$ 是连续股息率；如果是已知的离散股息，就把 $S e^{- q T}$ 换成 $S - D$ ，其中 $D$ 是期内股息的现值。

例如上面的参数再加上 2% 的股息率： $C - P = 100 e^{- 0.02 \times 90/365} - 99.0185 \approx 0.4895$ ，比无股息时的 0.9815 小了一半左右。股息让看涨期权相对变便宜、看跌期权相对变贵，这与上一课的结论一致。

美式期权：等式变成不等式

平价公式严格成立的前提是欧式期权。美式期权可以提前行权，等式就放宽成了一个区间。对不派息股票的美式期权：

S - K \leq C - P \leq S - K e^{- r T}

直觉上：不派息股票的美式看涨期权不应该提前行权（见第 3.5 课），价值等于欧式看涨；而美式看跌期权因为可能值得提前行权，比欧式看跌期权更贵，于是 $C - P$ 会比欧式的 $S - K e^{- r T}$ 小一些，但不会小于 $S - K$ 。

用二叉树（1000 步、波动率 25%）计算前面那组参数的美式期权：看涨 $5.43、看跌 $4.53， $C - P \approx 0.90$ ，正好落在 $[0, 0.98]$ 之间，而欧式期权的差额是 0.98。

箱式价差：期权里的「零息债券」

把一个牛市看涨价差和一个熊市看跌价差组合起来（同一到期日，欧式）：

买入 $K_{1}$ 看涨、卖出 $K_{2}$ 看涨（ $K_{1} < K_{2}$ ）；
买入 $K_{2}$ 看跌、卖出 $K_{1}$ 看跌。

到期时，无论股价是多少，这个组合的价值都恒等于 $K_{2} - K_{1}$ 。这就是箱式价差（Box Spread）。对两组期权分别使用平价公式：

(C_{1} - P_{1}) - (C_{2} - P_{2}) = (S - K_{1} e^{- r T}) - (S - K_{2} e^{- r T}) = (K_{2} - K_{1}) e^{- r T}

例如 $K_{1} = 95$ 、 $K_{2} = 105$ 、90 天、利率 4%：箱式价差的合理价格为 $10 \times e^{- 0.04 \times 90/365} \approx 9.90$ 美元，到期稳定变成 $10。买入箱式价差相当于放贷，卖出相当于借款，它的价格反映的就是市场利率。

亲手找一找套利

下面的组件预设了上文的「看涨 $6、看跌 $4」报价。观察它给出的平价偏离和套利方向，然后试试：

把看跌期权改成 $5.02 左右，看偏离何时消失；
把看涨期权调低到 $5.00、看跌期权调到 $4.50，看套利方向如何翻转成反转；
加入股息率，观察平价「合理差额」如何变小。

标的价格 S$行权价 K$剩余天数天利率 r%股息率 q%看涨市价 C$看跌市价 P$

左边：C − P

2.000

右边：S·e^(−qT) − K·e^(−rT)

0.981

100.000 − 99.019

看涨期权相对偏贵：做「转换套利」（Conversion）

操作（每股）	今天现金流	到期：S_T > K	到期：S_T < K
卖出看涨期权	+6.00	−(S_T − K)	0
买入看跌期权	−4.00	0	+(K − S_T)
买入 e^(−qT) 股，股息再投资	−100.00	+S_T	+S_T
借入 K·e^(−rT)，到期还 K	+99.02	−K	−K
合计	+1.019	0	0

今天锁定每股 1.019 的无风险利润（每张约 $101.85），到期时无论股价如何，所有头寸恰好相互抵消。现实中需扣除买卖价差、佣金、借券成本，并注意美式期权的提前行权风险。

小结

「看涨期权 + 行权价现值的存款」与「看跌期权 + 股票」到期结局相同，因此 $C - P = S - K e^{- r T}$ （欧式、无股息）。
平价关系不依赖任何模型和波动率，只依赖无套利；有股息时把 $S$ 换成 $S e^{- q T}$ 。
平价被打破时： $C - P$ 偏大 → 转换（卖看涨、买看跌、买股票）；偏小 → 反转（买看涨、卖看跌、卖空股票）。现实中的偏离通常小于交易成本。
合成头寸：保护性看跌 ≈ 买入看涨；备兑开仓 ≈ 卖出看跌；买看涨 + 卖看跌 ≈ 持股。
美式期权满足不等式 $S - K \leq C - P \leq S - K e^{- r T}$ ；箱式价差的价格等于价差宽度的现值。

平价关系告诉我们看涨与看跌「相差多少」，却没告诉我们它们各自「值多少」。下一课，我们用一个只有「涨」和「跌」两种结局的简化世界，第一次真正给期权定价——二叉树模型。