预期波动幅度与概率

「市场预期会动多少？」

假设一家公司明天盘后公布财报。你打开期权链，发现这周到期的期权比平时贵了一大截。这个「贵」并不神秘：期权卖方知道财报可能带来大幅跳空，所以要价更高；买方也愿意为这种可能性付钱。

既然价格里包含了市场对波动的预期，我们就可以把它读出来，变成一个直观的问题：按照当前的期权价格，市场认为股价在到期前大约会波动多少美元？到期时落在某个价格之上的可能性有多大？

本课给出三件工具：用隐含波动率估算1 个标准差的波动幅度、用平值跨式价格读出市场预期的波动、用 N(d2) 计算到期实值概率——并说明它们各自的前提与局限。

工具一：1 个标准差的波动幅度

在历史波动率一课中，我们学过平方根时间法则：年化波动率为 $\sigma$ 时，期限 $T$（以年计）内的累计波动约为 $\sigma \sqrt{T}$。把它乘以股价，就得到以美元表示的1 个标准差波动幅度：

$$\text{1 个标准差波动}\approx S\times \sigma \times \sqrt{T}$$

这里的 $\sigma$ 用的是隐含波动率——也就是市场对未来波动的定价。

如果收益率服从正态分布，价格落在 ±1 个标准差内的概率约为 68.3%，±2 个标准差约为 95.4%，±3 个标准差约为 99.7%。所以「1 个标准差区间」的含义大致是：市场定价隐含着大约三分之二的可能性，到期价格会落在这个范围里；也有大约三分之一的可能性落在范围之外。

对数正态带来的不对称

上面的 $91.40 ~ $108.60 是一个对称的近似。在 Black-Scholes 的对数正态模型中，对称的不是价格，而是对数收益率。更准确的 1 个标准差区间是：

$$S\cdot e^{\mu T-\sigma \sqrt{T}}\text{到}S\cdot e^{\mu T+\sigma \sqrt{T}}$$

其中 $\mu T$ 是对数价格的漂移（在风险中性模型中，$\mu =r-{\sigma }^2/2$，30 天内非常小）。代入数字，区间约为 $91.72 到 $108.94：向上约 $8.94，向下约 $8.28。

向上的距离更大，并不是因为市场「看涨」，而是数学性质：同样 8.6% 的对数涨幅，换算成美元比同样的对数跌幅更多；股价下有 0 为底、上不封顶。期限越长、波动率越高，这种不对称越明显。

工具二：用跨式价格读出预期波动

隐含波动率需要模型才能算出来。有没有更直接的办法？有——看平值跨式（ATM Straddle）的价格。

跨式是同时买入同一行权价的看涨和看跌期权。到期时它的价值是 $|S_T-K|$：无论涨跌，股价离行权价越远，跨式越值钱。所以平值跨式的价格，就是市场为「到期时股价离现价有多远」支付的价格。

验证一下：股价 $100、隐含波动率 30%、30 天到期时，平值看涨期权约 $3.59，平值看跌期权约 $3.26，跨式合计约 $6.85；而公式 $0.798\times 8.60\approx \$6.86$，几乎完全一致。

这给了我们一个非常实用的读法：

• 跨式价格 ≈ 市场预期的平均波动幅度。 上例中，市场预期到期时股价平均会偏离现价约 $6.85。
• 1 个标准差 ≈ 跨式价格 ÷ 0.8 ≈ 1.25 × 跨式价格。 上例中约 $8.60。
• 跨式买方的盈亏平衡点 = 行权价 ± 跨式价格。 买方要赚钱，到期时的波动必须超过市场预期的平均波动。

工具三：到期实值概率 N(d2)

在 Black-Scholes 模型中，可以直接写出看涨期权到期处于实值（$S_T>K$）的概率：

$$P(S_T>K)=N(d_2),d_2=\frac{\ln (S/K)+(r-{\sigma }^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}$$

看跌期权到期实值的概率则是 $N(-d_2)$。

下面的组件画出了到期价格的概率分布。调整行权价、隐含波动率和天数，观察曲线下方高于行权价的面积如何变化：

Prob到期价格的分布与概率

隐含波动率30%距离到期30 天

到期时高于 $110.0 的概率

13.3%

风险中性概率 N(d₂)

该行权价看涨期权的 Delta0.152

1σ 波动幅度 S·σ·√T±$8.60

±1σ 区间（约 68.3%）$91.7 – $108.9

±2σ 区间（约 95.4%）$84.2 – $118.7

注意 Delta（N(d₁)）总是大于 N(d₂)：用 Delta 估计看涨期权「到期实值概率」会高估。分布向右偏斜：上涨空间无限，下跌最多到 0。

对数正态模型：ln S_T ~ N(ln S + (r − σ²/2)T, σ²T)，r = 4.0%。真实世界的概率还取决于预期收益率，且真实分布通常比对数正态有更厚的尾部。

Delta 不等于实值概率

很多交易平台和教程都说「Delta 约等于期权到期实值的概率」。例如一张 Delta 为 0.30 的看涨期权，「大约有 30% 的概率到期实值」。这条经验法则有一定道理，但它系统性地偏离真实的 N(d2)。

在 Black-Scholes 中，看涨期权的 Delta 是 $N(d_1)$，而 $d_1=d_2+\sigma \sqrt{T}$。因为 $d_1$ 总是大于 $d_2$，看涨期权的 Delta 总是高于它的风险中性实值概率，而且两者的差距随 $\sigma \sqrt{T}$（波动率 × 期限的平方根）增大而扩大。下表是行权价 $110、股价 $100、r = 4% 的看涨期权：

剩余期限	隐含波动率	Delta = N(d1)	实值概率 N(d2)	差距
7 天	30%	1.2%	1.1%	0.1 个百分点
30 天	30%	15.2%	13.3%	1.9 个百分点
180 天	30%	40.0%	32.1%	7.9 个百分点
365 天	30%	48.6%	36.9%	11.7 个百分点
365 天	60%	58.2%	34.8%	23.5 个百分点

短期、低波动的期权，用 Delta 近似实值概率问题不大；长期、高波动的期权，误差可能超过 20 个百分点。看跌期权的情况正好相反：例如行权价 $90 的 30 天看跌期权，|Delta| 约 9.6%，而实值概率 $N(-d_2)$ 约 11.1%——|Delta| 低估了看跌期权的实值概率。

「碰到过」比「停在那里」更容易

到期实值概率回答的是「到期那一刻股价在不在 $110 以上」。但如果你关心的是「到期前股价有没有碰到过 $110」（比如止损线、敲出价、或者担心卖出的期权被打穿），概率要大得多。一个常用的近似是：

$$P(\text{到期前触碰 }K)\approx 2\times P(\text{到期时超过 }K)$$

这来自布朗运动的反射原理：在没有漂移的情况下，任何一条最终停在 $K$ 之上的路径都曾经穿过 $K$，而每一条碰到 $K$ 后又跌回去的路径，都有一条对称的、最终停在 $K$ 之上的「镜像」路径。上例中，30 天内触碰 $110 的概率约为 2 × 13.3% ≈ 26.6%。这只是近似（忽略了漂移和离散观察），但足以说明：被「碰到」的可能性大约是「停在那里」的两倍。

用模拟来直观感受。下面每一条线都是一条按几何布朗运动随机生成的价格路径，统计最终落在 $110 上方的比例，并留意有多少路径中途碰过 $110 又跌了回来：

Monte Carlo300 条可能的价格路径

重新模拟

模拟：到期高于 $11012.0%

理论概率 N(d₂)13.3%

到期价格均值$99.99理论 $100.33

波动率 σ30%期限30 天年化漂移 μ4%目标价 K$110

路径数量

1003005002000

几何布朗运动：每一步 S ← S·exp((μ − σ²/2)Δt + σ√Δt·Z)。图中最多显示 150 条路径，统计使用全部路径；橙色虚线为 ±1σ 区间。路径越多，模拟比例越接近理论概率。

把这些工具用起来

预期波动和实值概率在实际交易中有很多用途，下面是几个典型场景：

1. 设定合理的预期。 你看涨一只 $100 的股票，目标价 $115，计划买入 30 天到期的看涨期权。如果它的隐含波动率是 30%，30 天 1 个标准差只有约 $8.6——你的目标需要接近 2 个标准差的上涨。这并非不可能，但应该意识到市场定价认为它相当少见，同时考虑更长的期限或价差策略。
2. 选择卖出期权的行权价。 卖出宽跨式或铁鹰的交易者，常把卖出的行权价放在 1 个标准差附近（对于 30 天左右的期权，大致对应 Delta 0.15~0.20 的期权）。这意味着按市场定价，每一侧大约有 16% 的可能被打穿——不是「几乎不会发生」。
3. 判断期权贵贱。 把跨式隐含的预期波动和你自己的判断（或历史上同类事件的实际波动）比较：如果你认为实际波动会明显大于市场预期，买入波动可能有利；反之，卖出波动可能有利。
4. 理解风险。 把「1 个标准差」翻译成美元和仓位盈亏，你就能提前知道一个「普通的坏日子」会让账户损失多少，而不是等它发生了才知道。

风险中性概率 vs 真实概率

到这里需要强调一个最容易被忽略的前提：从期权价格推出的概率，是风险中性概率，而不是真实世界的概率。

• 漂移不同。 Black-Scholes 的 N(d2) 假设股票以无风险利率 $r$ 增长。但现实中，人们持有股票是因为预期收益高于无风险利率（股权风险溢价）。如果按真实期望收益计算，股价上涨的概率会更高一些。
• 波动率不同。 公式中使用的是隐含波动率。大量研究表明，股票指数的隐含波动率平均而言高于之后实际实现的波动率（波动率风险溢价）。用隐含波动率算出的「大幅波动的概率」，平均而言会高于这些波动实际发生的频率。
• 分布形状不同。 真实收益率有肥尾和偏斜，单一的隐含波动率无法完整描述。实际期权市场的偏斜（见波动率微笑）会让不同行权价对应的概率与简单的对数正态模型不同。

所以，「期权价格隐含了 13% 的概率涨过 $110」的准确理解是：这是一个与当前价格相一致的定价概率，它混合了市场对未来的预期和对风险的厌恶程度。它非常有用——可以帮你理解市场在给什么定价、比较不同期权——但不应被当作对未来的客观预测。

小结

• 1 个标准差波动幅度 ≈ $S\times \sigma \times \sqrt{T}$，正态近似下约 68% 的可能性落在区间内；对数正态模型中区间上宽下窄。
• 平值跨式价格 ≈ 0.8 × 1 个标准差 ≈ 市场预期的平均绝对波动；1 个标准差 ≈ 1.25 × 跨式价格。
• 到期实值概率：看涨为 $N(d_2)$，看跌为 $N(-d_2)$。看涨期权的 Delta = N(d1) 总是高于 N(d2)，差距随 $\sigma \sqrt{T}$ 扩大；看跌期权的 |Delta| 则低估实值概率。
• 触碰概率约为到期实值概率的两倍。
• 期权价格隐含的是风险中性概率：它用于定价，混合了预期与风险溢价，不是对未来的预测。

到这里，第四部分「波动率」就结束了。下一部分我们将系统学习希腊字母——从 Delta 开始，把期权价格的变化拆成方向、曲率、时间、波动四个维度逐一量化。