二叉树可视化

一步步展开二叉树，看清复制组合、风险中性概率与美式期权的提前行权节点。

步数3 步 · 每步 0.3333 年

每个节点：上为标的价格，下为期权价值点击任一节点查看计算过程

第 0 步节点 · S = $100.0000

风险中性定价：e^−rΔt·[p·V_u + (1−p)·V_d] = 0.9835 × [0.5438 × 17.7139 + 0.4562 × 3.5007] = 11.0439

复制组合：持有 Δ = (V_u − V_d)/(S_u − S_d) = 0.6141 股，加上借入 $50.3647 的无风险资金。组合价值 = 0.6141 × 100.00 − 50.3647 = 11.0439，与上式相同。

u / d1.1224 / 0.8909

风险中性概率 p0.5438

二叉树价格11.0439

Black-Scholes 价格10.4506

步数2 步 · 每步 1.0000 年

每个节点：上为标的价格，下为期权价值提前行权更优点击任一节点查看计算过程

第 0 步节点 · S = $50.0000

风险中性定价：e^−rΔt·[p·V_u + (1−p)·V_d] = 0.9512 × [0.6282 × 1.4148 + 0.3718 × 12.0000] = 5.0896

复制组合：持有 Δ = (V_u − V_d)/(S_u − S_d) = −0.5293 股，加上借出 $31.5527 的无风险资金。组合价值 = −0.5293 × 50.00 + 31.5527 = 5.0896，与上式相同。

美式：立即行权可得 2.0000，继续持有值 5.0896，取较大者 → 继续持有。

u / d1.2000 / 0.8000

风险中性概率 p0.6282

二叉树价格5.0896

怎么读这棵树

从右往左计算：最右边一列是到期节点，期权价值就是内在价值。
每个非到期节点的价值 = 两个子节点价值的风险中性期望，再按无风险利率折现一步：e^−rΔt[p·V_u + (1−p)·V_d]。
点击任一节点，可以看到等价的「复制组合」：持有 Δ 股标的并借入（或借出）一笔资金，就能在下一步的两种情形中都精确复制期权价值。
切换为美式后，每个节点还要比较「立即行权」与「继续持有」的价值，取较大者；黄色节点表示提前行权更优。

参数

CRR 模型取 u = e^σ√Δt、d = 1/u，风险中性概率 p = (e^(r−q)Δt − d)/(u − d)。步数越多，欧式期权的二叉树价格越接近 Black-Scholes 价格。第二棵树采用 Hull《期权、期货及其他衍生产品》中的例题参数（u = 1.2、d = 0.8），美式看跌期权价格为 5.0896（教材因中间步骤四舍五入给出 5.0894）。