Black-Scholes 模型

改变金融世界的一个公式

1973 年，Fischer Black 和 Myron Scholes 在《政治经济学杂志》上发表了论文《期权与公司负债的定价》；同年，Robert Merton 在另一篇论文中完善并推广了这一理论。巧合的是，就在这一年，芝加哥期权交易所开业，标准化期权开始在交易所交易。此后，这个公式迅速成为交易员为期权定价、管理风险的标准工具。1997 年，Scholes 与 Merton 因此获得诺贝尔经济学奖（Black 已于 1995 年去世）。

上一课我们看到，二叉树的步数越多，价格越接近一个确定的数。Black-Scholes 公式就是这个极限的「闭式解」——不需要一步步画树，代入五个数字就能得到欧式期权的价格。

这一课的目标不是背公式，而是读懂它：每个符号是什么意思，整个公式在说什么，以及它没有说什么。

模型的假设

任何模型都建立在假设之上。Black-Scholes 模型的主要假设是：

股价服从几何布朗运动：股价的对数收益率服从正态分布，股价本身服从对数正态分布；价格连续变化，不会跳空。
波动率 σ 和无风险利率 r 是常数，并且已知。
市场无摩擦：没有交易成本和税，可以连续交易、无限细分、自由卖空。
不存在套利机会。
欧式期权：只能在到期日行权。
期内不派发股息（Merton 的扩展允许连续股息率，见后文）。

这些假设显然不完全符合现实：股价会跳空，波动率每天都在变，交易有成本。我们会在模型的边界中专门讨论这些偏差带来的后果。但正如一张地图不必和真实地形一模一样，Black-Scholes 模型抓住了期权定价最核心的逻辑，至今仍是整个期权市场的「通用语言」。

公式长什么样

不派息股票的欧式看涨期权 $C$ 和看跌期权 $P$ ：

C = S N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

P = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S N (- d_{1})

其中

d_{1} = \frac{ln ( S / K ) + ( r + \frac{1}{2} σ ^{2} ) T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T

符号	含义	例子中的取值
$S$	标的现价	$42
$K$	行权价	$40
$T$	剩余期限（年）	0.5
$r$	无风险利率（连续复利，年化）	10%
$σ$	年化波动率	20%
$N (x)$	标准正态分布的累积分布函数	—
$e^{- r T}$	折现因子：$1 在 $T$ 年后的钱，今天值多少	$e^{- 0.05}$

$N (x)$ 表示一个标准正态随机变量小于 $x$ 的概率。几个常用值： $N (0) = 0.5$ ， $N (1) \approx 0.8413$ ， $N (2) \approx 0.9772$ ，并且 $N (- x) = 1 - N (x)$ 。在 Excel 中可以用 NORM.S.DIST(x, TRUE) 计算。

公式在说什么

先看看到期时的看涨期权：如果 $S_{T} > K$ ，你付出 $K$ ，拿到一股股票；否则什么都不发生。Black-Scholes 公式的两项，恰好对应这两件事：

C = 可能拿到的股票，在今天的价值 S N (d_{1}) - 可能付出的行权款，在今天的价值 K e^{- r T} N (d_{2})

第二项：可能付出的行权款

$N (d_{2})$ 是在风险中性世界里，期权到期时处于实值（ $S_{T} > K$ ）的概率。你只有在实值时才会付出 $K$ ，所以「付出 $K$ 」的期望值是 $K \cdot N (d_{2})$ ，再乘以折现因子 $e^{- r T}$ ，就是这笔钱在今天的价值。

第一项：可能拿到的股票

你只在 $S_{T} > K$ 时拿到股票，而那时股价偏高（至少超过 $K$ ）。所以「拿到股票」的价值不是简单的 $S \times N (d_{2})$ ，而要更大一些——这就是为什么第一项用的是 $N (d_{1})$ ，而 $d_{1} > d_{2}$ 、 $N (d_{1}) > N (d_{2})$ 。严格地说， $S N (d_{1})$ 等于在风险中性世界中，「股价高于 $K$ 时才拿到的那股股票」的期望价值的现值。

此外， $N (d_{1})$ 恰好是看涨期权的 Delta：股价每变动 $1，看涨期权价格大约变动 $N (d_{1})$ 美元。它也是用股票对冲一份看涨期权所需的股数——和二叉树里的 Δ 是同一个东西。

d₁ 与 d₂：「离行权价有几个标准差」

再看 $d_{2}$ 的结构。分子中的 $ln (S / K)$ 衡量现价比行权价高多少（以对数计），分母 $σ T$ 是到期前股价对数收益率的总标准差。所以 $d_{2}$ 大致回答的是：「股价需要走几个标准差才能到达行权价？」 $d_{2}$ 越大，期权越有可能到期实值。 $d_{1}$ 与 $d_{2}$ 相差 $σ T$ 。

看跌期权：反过来

看跌期权到期时，如果 $S_{T} < K$ ，你交出一股股票，收到 $K$ 。于是 $P = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S N (- d_{1})$ ： $N (- d_{2}) = 1 - N (d_{2})$ 是风险中性下到期实值（ $S_{T} < K$ ）的概率。

把两个公式相减： $C - P = S [N (d_{1}) + N (- d_{1})] - K e^{- r T} [N (d_{2}) + N (- d_{2})] = S - K e^{- r T}$ ，正好是上上课的买卖权平价。

算一算：Hull 的经典例题

股价 $42，行权价 $40，无风险利率 10%，波动率 20%，剩余期限半年，不派息。

Black-Scholes 分步计算

计算对数价值比： $ln (42/40) = ln 1.05 \approx 0.0488$ ；总波动： $σ T = 0.2 \times 0.5 \approx 0.1414$ 。
计算 $d_{1} = \frac{0.0488 + ( 0.10 + 0.5 \times 0. 2 ^{2} ) \times 0.5}{0.1414} = \frac{0.0488 + 0.06}{0.1414} \approx 0.7693$ ， $d_{2} = 0.7693 - 0.1414 \approx 0.6278$ 。
查正态分布： $N (d_{1}) \approx 0.7791$ ， $N (d_{2}) \approx 0.7349$ ； $N (- d_{1}) \approx 0.2209$ ， $N (- d_{2}) \approx 0.2651$ 。
行权价的现值： $K e^{- r T} = 40 \times e^{- 0.05} \approx 38.0492$ 。
看涨期权： $C = 42 \times 0.7791 - 38.0492 \times 0.7349 \approx 32.72 - 27.96 = 4.76$ 。
看跌期权： $P = 38.0492 \times 0.2651 - 42 \times 0.2209 \approx 10.09 - 9.28 = 0.81$ 。
检验平价： $C - P \approx 3.95$ ， $S - K e^{- r T} = 42 - 38.05 = 3.95$ 。✓

看涨期权约 $4.76，看跌期权约 $0.81，与 Hull 教材的结果一致（本站引擎的精确值为 4.7594 和 0.8086）。

几个值得体会的细节：

这张看涨期权的内在价值是 $42 - 40 = 2$ 美元，而价格是 $4.76，多出来的 $2.76 是时间价值。
风险中性下到期实值的概率是 $N (d_{2}) \approx 73.5%$ ，而 Delta 是 $N (d_{1}) \approx 0.779$ ，两者并不相等。
如果波动率趋于 0，价格会趋近 $max (S - K e^{- r T}, 0) = 42 - 38.05 = 3.95$ 美元，而不是 $2：利率本身就让看涨期权更值钱（推迟支付行权价）。

下面的计算器预设了这道例题。修改任意一个输入，观察 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 以及公式中两项如何变化：

标的价格 S$行权价 K$剩余天数天波动率 σ%利率 r%股息率 q%

换算期限与波动

T = 182.5/365 = 0.5000 年；σ√T = 0.2000 × 0.7071 = 0.1414

计算 d₁

d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·T] / (σ√T) = [0.0488 + 0.0600] / 0.1414 = 0.7693

计算 d₂

d₂ = d₁ − σ√T = 0.7693 − 0.1414 = 0.6278

查标准正态分布

N(d₁) = 0.7791，N(d₂) = 0.7349

代入公式

C = S·e^(−qT)·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂) = 42.000 × 0.7791 − 38.049 × 0.7349

$4.7594

Delta0.7791

Gamma0.0500

Theta（每天）−0.0125

Vega（每 1%）0.0881

Rho（每 1%）0.1398

风险中性实值概率73.49%

公式里没有什么

仔细看公式的输入： $S, K, T, r, σ$ 。股票的预期收益率 $μ$ 不在其中。

这正是 Black-Scholes 最深刻、也最反直觉的地方，和二叉树中「真实概率不影响价格」一脉相承。推导的核心思路是：用股票和期权构建一个组合，让它在一瞬间对股价的小变动完全免疫（持有 Δ 股股票对冲 1 份期权）。这个组合在这一瞬间没有风险，因此只能赚取无风险利率，否则就有套利机会。这个条件给出了一个偏微分方程：

\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} \frac{\partial ^{2} V}{\partial S ^{2}} + r S \frac{\partial V}{\partial S} = r V

在推导过程中，股价漂移项 $μ$ 被对冲抵消掉了，方程里只剩下 $σ$ 和 $r$ 。用到期损益作为边界条件解这个方程，就得到了 Black-Scholes 公式。等价地，公式也可以写成风险中性期望：

C = e^{- r T} E^{Q} [max (S_{T} - K, 0)]

其中 $Q$ 表示风险中性世界：在那里股价的期望增长率等于 $r$ ，而不是 $μ$ 。这个方程里的各项会在第五部分以希腊字母的形式再次出现：它描述的正是 Theta 与 Gamma 之间的「交换」。

有股息时：Merton 的扩展

如果标的支付连续股息率 $q$ （例如股指的成分股持续分红），Merton 给出的修正版公式为：

C = S e^{- q T} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2}), P = K e^{- r T} N (- d_{2}) - S e^{- q T} N (- d_{1})

d_{1} = \frac{ln ( S / K ) + ( r - q + \frac{1}{2} σ ^{2} ) T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T

直觉是：期内的股息会让股价「被搬走」一部分，持有期权的人拿不到，所以用 $S e^{- q T}$ 代替 $S$ 。

例如股价 $100、行权价 $100、半年、利率 4%、波动率 30%：

股息率	$d_{1}$	$d_{2}$	看涨	看跌
0	0.2003	−0.0118	$9.39	$7.41
3%	0.1296	−0.0825	$8.55	$8.06

同样的结构还可以用于其他标的：外汇期权中把 $q$ 换成外币利率（Garman-Kohlhagen 模型）；期货期权则有 Black 在 1976 年给出的版本。本站的定价引擎和所有交互组件都使用 Merton 形式（无股息时 $q = 0$ ）。

市场如何使用这个公式

如果现实不满足模型假设，为什么全世界的交易员还在用 Black-Scholes？因为它在实践中扮演的角色更像一个翻译器：

公式的五个输入里，四个可以直接观察，只有波动率不行。
反过来，给定市场上期权的成交价格，可以用公式反推出波动率——这就是隐含波动率。
交易员之间常常直接用隐含波动率报价和比较：「这张期权的隐含波动率是 35%」比「这张期权 $3.20」包含更多可比信息，因为它剔除了股价、行权价和期限的影响。

当市场价格与模型不符时（例如不同行权价的期权隐含波动率不同，形成波动率微笑），交易员并不抛弃公式，而是调整输入的波动率。可以说，市场把模型的缺陷，都「装进」了隐含波动率里。

小结

Black-Scholes 模型假设股价服从几何布朗运动、波动率和利率恒定、市场无摩擦、欧式行权。
看涨期权 $C = S N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})$ ：前一项是「可能拿到的股票」的现值，后一项是「可能付出的行权款」的现值。
$N (d_{2})$ 是风险中性下到期实值的概率； $N (d_{1})$ 是看涨期权的 Delta。二者不同。
公式中没有股票的预期收益率 $μ$ ：期权价格由对冲（复制）成本决定，而不是由预测决定。
有股息时用 $S e^{- q T}$ 代替 $S$ （Merton 扩展）。实践中，公式最重要的用途是在价格与隐含波动率之间互相转换。

Black-Scholes 只适用于欧式期权。而美股个股和 ETF 期权都是美式的——提前行权什么时候才划算？下一课揭晓。