第 3 部分 · 期权如何定价目录
影响期权价格的六个因素
股价没动，期权价格却在变；股价涨了，看涨期权反而跌了——期权的价格到底由什么决定？
- 说出决定期权价格的六个因素，以及它们分别让看涨、看跌期权变贵还是变便宜
- 理解为什么波动率上升会让看涨和看跌期权同时变贵
- 知道「期限越长越贵」只对美式期权一定成立，欧式期权存在例外
- 会用「平值期权 ≈ 0.4 × S × σ × √T」快速估算期权价格的量级
一个让新手困惑的现象
假设你在财报前一天买入一张平值看涨期权：股价 $100，行权价 $100，30 天到期，市场预期财报会带来大幅波动，期权的隐含波动率高达 50%，你付出了每股 $5.87。
财报公布了，业绩不错，股价第二天涨到 $102。你打开账户，却发现这张看涨期权只值 $4.68 了——股价涨了 2%，期权跌了 20%。
这不是券商算错了。期权的价格从来不只取决于股价：剩下几天到期、市场预期未来会波动多大、利率和股息是多少……都在同时起作用。这次财报后，「市场预期的波动」从 50% 骤降到 30%，再加上过去的一天，抵消了股价上涨带来的收益（我们会在财报与事件交易中详细讨论这种「波动率崩塌」）。
这一课，我们把期权价格拆成六个「旋钮」，一个一个地拧，看看价格会怎么变。
六个因素一览
决定一张期权价格的，是下面六个因素：
- 标的价格 ：现在股票卖多少钱。
- 行权价 ：合约约定的买入或卖出价格。
- 剩余期限 ：距离到期还有多久（以年计）。
- 波动率 ：标的价格未来波动的剧烈程度（年化）。
- 无风险利率 ：资金的时间价值。
- 股息 ：期权存续期内标的派发的现金分红（这里用连续股息率表示）。
前五个因素中，只有波动率是无法直接观察的：股价、行权价、到期日、利率都能在屏幕上直接看到，而「未来会波动多大」只能估计。正因为如此，期权交易者常说：期权的价格，本质上是波动率的价格。我们会在第四部分专门讨论它。
下表总结了每个因素单独增大（其他因素保持不变）时，期权价格的变化方向：
| 因素增大 | 欧式看涨 | 欧式看跌 | 美式看涨 | 美式看跌 |
|---|---|---|---|---|
| 标的价格 | ↑ | ↓ | ↑ | ↓ |
| 行权价 | ↓ | ↑ | ↓ | ↑ |
| 剩余期限 | 通常 ↑（有例外） | 通常 ↑（有例外） | ↑ | ↑ |
| 波动率 | ↑ | ↑ | ↑ | ↑ |
| 无风险利率 | ↑ | ↓ | ↑ | ↓ |
| 股息 | ↓ | ↑ | ↓ | ↑ |
这张表的思路来自 John Hull 的经典教材《期权、期货及其他衍生产品》。请特别留意「剩余期限」那一行的「例外」，后面会解释。
下面我们以一张「基准期权」为例，逐一拧动每个旋钮：标的价格 $100、行权价 $100、剩余 90 天、波动率 25%、利率 4%、无股息。用 Black-Scholes 模型计算，它的看涨期权价格为 $5.43，看跌期权价格为 $4.45。
标的价格与行权价：决定「离钱有多近」
这两个因素最直观。看涨期权是「按 买入」的权利，股价 越高、行权价 越低，这个权利越值钱；看跌期权正好相反。
真正决定期权价值的，其实是二者的相对关系，也就是期权的「实值程度」（见实值、平值与虚值）。到期时，看涨期权的价值是 ，看跌期权是 ，所以 与 的方向一定相反。
用基准期权算一算：
- 股价从 $100 涨到 $101：看涨期权从 $5.43 涨到 $6.00（+$0.57），看跌期权从 $4.45 跌到 $4.02（−$0.43）。
- 股价涨到 $110：看涨期权涨到 $12.41，看跌期权跌到 $1.43。
- 行权价改为 $105（股价仍为 $100）：看涨期权降到 $3.31，看跌期权升到 $7.28。
注意两个细节。第一，股价涨 $1，看涨期权只涨了约 $0.57，并不是 $1——这个「每 $1 股价变动带来的期权价格变动」就是 Delta，我们会在第五部分详细讨论。第二，股价涨 $10 时，看涨期权涨了约 $6.98，远大于 10 × $0.57 = $5.7：期权价格对股价的反应是非线性的，股价越往实值方向走，期权的反应越接近 1:1。
剩余期限：时间就是可能性
一般来说，期权的剩余期限越长，价格越高。直觉很简单：时间越长，标的价格可能走得越远，期权「变成实值、甚至深度实值」的机会就越多，而持有人的最大损失并不会因此增加。
用基准期权（波动率 25%、利率 4%）看看平值期权在不同期限下的价格：
| 剩余期限 | 30 天 | 90 天 | 180 天 | 360 天 |
|---|---|---|---|---|
| 看涨期权 | $3.02 | $5.43 | $7.95 | $11.74 |
| 看跌期权 | $2.69 | $4.45 | $5.99 | $7.88 |
期限从 90 天延长到 360 天，变成了 4 倍，但看涨期权的价格只从 $5.43 涨到 $11.74，远没有变成 4 倍。这是因为标的价格的波动幅度大致与时间的平方根 成正比。如果把利率设为 0，排除利率的干扰，平值看涨期权在 90 天时价格为 $4.95、360 天时为 $9.88——期限 4 倍，价格正好约 2 倍（）。
美式期权：时间只会多给你选择
对于美式期权，期限越长价格一定不会更低。道理很直接：一张 6 个月到期的美式期权，拥有 3 个月到期期权的全部权利——你可以在前 3 个月里做任何短期期权能做的事——还额外多出 3 个月。多出来的选择权不可能有负价值。
欧式期权：等待有时是一种损失
欧式期权只能在到期日行权，于是出现了例外。考虑一张深度实值的欧式看跌期权：股价 $40，行权价 $100，利率 5%，波动率 20%。
| 剩余期限 | 0.5 年 | 1 年 | 2 年 | 5 年 |
|---|---|---|---|---|
| 欧式看跌期权 | $57.53 | $55.12 | $50.49 | $38.62 |
期限越长，价格反而越低！原因在于：这张看跌期权最多只能给你 $100（股价跌到 0 时），而股价已经很低，继续下跌的空间有限；你真正在等的，是到期时收到的那 $100 行权款。到期越晚，这笔钱折现到今天就越不值钱。同样条件的美式看跌期权则可以立刻行权拿到 $60，所以它在各个期限下的价格都是 $60。
类似地，对于一只高股息股票，深度实值的欧式看涨期权也可能期限越长越便宜：持有期权的人拿不到股息，期限越长，「错过」的股息越多。例如股价 $100、行权价 $60、股息率 6%、利率 2%、波动率 20% 时，欧式看涨期权在 0.5 年时为 $37.64，在 2 年时只有 $31.60。
我们会在美式期权与提前行权中继续这个话题。
波动率：唯一看不见的输入
波动率上升，看涨期权和看跌期权都会变贵。很多人第一次听到这个结论会觉得奇怪：看涨赌涨、看跌赌跌，怎么会同时受益？
关键在于期权持有人的收益是不对称的。做一个思想实验：两只股票现价都是 $100。
- 股票 A 很稳定，一个月后以相同的概率停在 $95 或 $105；
- 股票 B 很活跃，一个月后以相同的概率停在 $80 或 $120。
两只股票的期望价格都是 $100，持有股票的平均收益相同。但看看行权价 $100 的看涨期权：A 的期权到期价值是 $0 或 $5，平均 $2.5；B 的期权是 $0 或 $20，平均 $10。看跌期权同理（A 平均 $2.5，B 平均 $10）。波动越大，期权「大赚」的可能越大，而「大亏」不会更多——因为最多只亏掉权利金。
用基准期权计算，看涨与看跌期权对波动率的反应几乎是线性的：
| 波动率 | 15% | 25% | 35% |
|---|---|---|---|
| 看涨期权 | $3.47 | $5.43 | $7.39 |
| 看跌期权 | $2.49 | $4.45 | $6.41 |
波动率每增加 10 个百分点，两者都上涨约 $1.96。也就是说，波动率每变动 1 个百分点，这张期权的价格变动约 $0.20——这个敏感度叫做 Vega。对平值期权来说，波动率的影响往往比利率、股息大得多，这也是为什么判断「期权贵不贵」，归根结底是在判断波动率的高低。
利率：推迟付款的价值
利率的影响不如前几个因素直观。可以这样理解：
- 买入看涨期权，相当于「先付一小笔权利金，把支付 的时间推迟到将来」。利率越高，推迟付款越划算（这笔钱可以先拿去赚利息），所以看涨期权变贵。
- 买入看跌期权，相当于「将来才能按 卖出、收到钱」。利率越高，推迟收款越吃亏，所以看跌期权变便宜。
对短期期权来说，利率的影响很小：基准期权的利率从 4% 升到 5%，看涨期权从 $5.43 升到 $5.56（+$0.12），看跌期权从 $4.45 降到 $4.33（−$0.12）。但对长期期权就不能忽视了：同样条件下的 2 年期平值期权，利率从 4% 升到 5%，看涨期权从 $17.68 升到 $18.65，看跌期权从 $9.99 降到 $9.13，变化接近 $1。
股息：被「搬走」的价值
公司派发现金股息时，在除息日，股价通常会下跌约等于股息的金额——这部分价值从股票「搬」到了股东的口袋里。但期权持有人不是股东，拿不到股息。
因此，股息越高，标的在到期前「被搬走」的价值越多：看涨期权变便宜，看跌期权变贵。在基准期权的基础上加入 2% 的年化股息率，看涨期权从 $5.43 降到 $5.16，看跌期权从 $4.45 升到 $4.67。
需要注意，市场已知的、可预期的股息早已反映在期权价格里，除息日当天股价下跌并不会让期权价格突然跳变。真正影响价格的，是股息预期的变化，例如公司意外宣布特别股息或取消分红。股息还会影响美式看涨期权是否应该提前行权，这是第 3.5 课的重点。
亲手拧一拧六个旋钮
下面的组件以同一张基准期权为起点。逐个拖动滑块，观察看涨、看跌价格的变化方向和幅度，验证上面的表格：
- 先只动「标的价格」，注意看涨与看跌的变化方向相反、幅度也不相等；
- 再把「波动率」从 25% 拉到 50%，看两者如何同时变贵；
- 把「剩余天数」缩短到只剩几天，感受时间价值的流失；
- 最后把利率和股息拉到较大值，体会它们相对较小的影响。
一张敏感度速查表
把基准期权的各项「单独变化」汇总在一起：
| 变化（其他条件不变） | 看涨期权 | 看跌期权 |
|---|---|---|
| 基准：S = 100，K = 100，90 天，σ = 25%，r = 4%，q = 0 | $5.43 | $4.45 |
| 标的价格 → $101 | $6.00（+0.57） | $4.02（−0.43） |
| 标的价格 → $110 | $12.41 | $1.43 |
| 行权价 → $105 | $3.31 | $7.28 |
| 剩余期限 90 天 → 30 天 | $3.02 | $2.69 |
| 波动率 25% → 35% | $7.39（+1.96） | $6.41（+1.96） |
| 利率 4% → 5% | $5.56（+0.12） | $4.33（−0.12） |
| 股息率 0 → 2% | $5.16（−0.27） | $4.67（+0.22） |
这张表里的每一个「变化量」，在第五部分都会有一个名字：对标的价格的敏感度叫 Delta，对时间的叫 Theta，对波动率的叫 Vega，对利率的叫 Rho。希腊字母，就是把这张表标准化之后的结果。
小结
- 期权价格由六个因素决定：标的价格、行权价、剩余期限、波动率、无风险利率与股息。其中只有波动率无法直接观察。
- 标的价格上升（或行权价下降）使看涨变贵、看跌变便宜；利率上升使看涨变贵、看跌变便宜；股息增加使看涨变便宜、看跌变贵。
- 波动率上升使看涨和看跌同时变贵，因为期权持有人的收益是不对称的。
- 美式期权的期限越长价格不会更低；欧式期权存在例外（深度实值看跌、高股息股票的深度实值看涨）。
- 平值期权价格 ≈ 0.4 × S × σ × √T，价格大致随 √T 而非 T 增长。
六个因素的方向我们已经清楚了，但具体数值是怎么算出来的？下一课，我们先从一个不需要任何模型、只依赖「无套利」的漂亮关系开始：买卖权平价。