二叉树：用复制给期权定价

一个只有两种结局的世界

现实中的股价千变万化，直接给期权定价似乎无从下手。1979 年，John Cox、Stephen Ross 和 Mark Rubinstein 发表了一篇题为《期权定价：一种简化方法》的论文，提出了一个巧妙的思路：先想象一个极度简化的世界，在那里把问题彻底想清楚，再让这个世界逐渐逼近现实。

这个简化世界就是二叉树（Binomial Tree）：在每一个时间段里，股价只有两种可能——上涨到原来的 $u$ 倍，或者下跌到原来的 $d$ 倍。

我们用 John Hull 教材中的经典例题开始：

一只不派息股票现价 $20。3 个月后，它要么涨到 $22（$u=1.1$），要么跌到 $18（$d=0.9$）。无风险利率为 12%（连续复利）。一份 3 个月后到期、行权价 $21 的欧式看涨期权，值多少钱？

到期时，期权的价值很清楚：股价 $22 时值 $1，股价 $18 时值 $0。

很多人的第一反应是：「这要看涨的概率有多大。如果涨跌各一半，期望价值是 $0.5，折现一下就行。」这个思路看起来合理，却是错的。下面我们换一种完全不需要概率的方法。

复制：用股票和借款「造」一张期权

设想你用两样东西搭一个组合：买入 Δ 股股票，同时借入（或存入）一笔钱 B。如果能选择合适的 Δ 和 B，让这个组合在两种结局下的价值都与期权完全相同，那么根据无套利原则，期权今天的价格就必须等于这个组合今天的成本。

3 个月后（$\Delta t=0.25$ 年），借款连本带息变为 $B{e}^{r\Delta t}=B{e}^{0.03}$。要求：

两式相减：$4\Delta =1$，所以 $\Delta =0.25$。代回第二式：$B{e}^{0.03}=-4.5$，即 $B=-4.5e^{-0.03}\approx -4.367$，负号表示借入 $4.367。

所以这份看涨期权今天的价格是 $0.633。如果市场价格高于它，你可以卖出期权、买入复制组合，锁定无风险利润；如果低于它，就反过来操作。

惊人的结论：概率不见了

回头看整个计算过程：我们从头到尾没有用到股价上涨的概率。无论你认为上涨的概率是 90% 还是 10%，这份期权的价格都是 $0.633。

这听起来违反直觉：一只大概率上涨的股票，它的看涨期权难道不该更贵吗？答案是：投资者对涨跌概率的看法，以及他们对风险的厌恶程度，已经体现在股票的现价 $20 里了。期权的价格是相对于股价来定的——只要股价、涨跌幅度和利率确定了，期权的价格也就确定了。期权定价不是预测，而是复制。

风险中性概率：一个计算捷径

虽然真实概率不重要，但我们可以定义一个「虚拟概率」让计算更方便：

对于这个例子，$p=\frac{e^{0.03}-0.9}{1.1-0.9}=\frac{1.0305-0.9}{0.2}\approx 0.6523$。用它对期权的到期价值求「期望」，再按无风险利率折现：

结果和复制法一模一样。这不是巧合：把复制组合的方程组解出来再整理，就会得到这个公式。

这个 $p$ 叫做风险中性概率。它的含义是：在一个所有人都不在乎风险的「虚拟世界」里，股票的期望收益率应该恰好等于无风险利率。验证一下：$22\times 0.6523+18\times 0.3477\approx 20.609$，正好等于 $20\times e^{0.03}\approx 20.609$。

另外注意，$p$ 必须在 0 和 1 之间，这要求 $d<e^{r\Delta t}<u$。如果无风险收益比股票上涨时还高（或比下跌时还低），就会出现套利机会：直接借钱买股票（或卖空股票去存钱）就能无风险获利。

下面是这个一步二叉树。点击各个节点，查看股价、期权价值，以及复制该节点期权所需的股数和借款：

两步二叉树：从后往前算

一步树太粗糙了。把同样的设定延长到两期：每期 3 个月，每期股价仍然涨 10% 或跌 10%，期权在 6 个月后到期（行权价 $21）。

股价会形成一棵「树」：$20 → $22 或 $18 → $24.2、$19.8 或 $16.2（先涨后跌和先跌后涨都到达 $19.8，树枝在这里「重合」了，这让每一层的节点数只随步数线性增长——第 n 步只有 n + 1 个节点，而不是 2 的 n 次方个）。

计算的关键是从后往前（backward induction）：

期权价格约为 $1.2822。Hull 教材中给出的是 1.2823，差异来自教材把 $p$ 四舍五入为 0.6523 后再逐步计算；本站引擎使用精确值。

两步树还揭示了一个重要现象：对冲比率会变。在根节点，$\Delta =\frac{2.0256-0}{22-18}\approx 0.506$；如果股价涨到 $22，$\Delta =\frac{3.2-0}{24.2-19.8}\approx 0.727$；如果跌到 $18，$\Delta =0$。想要一直完美复制期权，就必须随着股价变化不断调整股票持仓——这就是做市商每天在做的「动态对冲」（见 Delta 对冲）。

让树「长大」：CRR 参数

前面的 $u$、$d$ 是直接给定的。现实中如何选择它们？Cox、Ross 和 Rubinstein 给出了一种与波动率挂钩的选择（简称 CRR）：

其中 $\sigma$ 是年化波动率，$\Delta t=T/n$ 是每一步的时间长度。这样选择，能让树上股价的波动程度与真实的波动率相匹配。

例如股价 $100、行权价 $100、1 年到期、利率 5%、波动率 20%，分成 4 步（每步 0.25 年）：$u=e^{0.2\times 0.5}\approx 1.1052$，$d\approx 0.9048$，$p\approx 0.5378$，二叉树给出的看涨期权价格为 $9.9705。

步数越多，树越「细」，结果越接近连续时间下的 Black-Scholes 公式（$10.4506）：

可以看到，价格在奇数步和偶数步之间来回摆动，但摆动幅度越来越小，最终收敛到 10.4506。这说明：Black-Scholes 公式可以看作二叉树在步数趋于无穷时的极限。下一课我们就来拆解这个公式。

在上面的组件中增加步数，观察根节点的价格如何逐渐靠近 Black-Scholes 价格 $10.45。

美式期权：每个节点都问一句「现在行权更好吗？」

二叉树最大的实用价值，是能轻松处理美式期权。对欧式期权，每个节点的价值就是「继续持有的价值」；对美式期权，每个节点还要和「立即行权的价值」比一比，取较大者：

看 Hull 的另一道经典例题：

股票现价 $50，每年要么涨 20%（$u=1.2$），要么跌 20%（$d=0.8$），两步，每步 1 年。无风险利率 5%。求行权价 $52、2 年后到期的看跌期权价格。

风险中性概率 $p=\frac{e^{0.05}-0.8}{1.2-0.8}\approx 0.6282$，一步折现因子 $e^{-0.05}\approx 0.9512$。

欧式看跌期权价值约 $4.1927，美式看跌期权约 $5.0896，提前行权的权利值大约 $0.90。Hull 教材给出的数值是 4.1923 和 5.0894，差异同样来自中间步骤对 $p$ 的四舍五入。

在组件中切换美式/欧式，留意股价 $40 的那个节点被标记为「提前行权」。为什么深度实值的美式看跌期权值得提前行权？这是美式期权与提前行权一课的主题。

二叉树教会我们什么

二叉树模型虽然简单，却包含了期权定价理论中最重要的几个思想：

1. 复制与无套利：期权的价格等于复制它所需的成本，而不是「期望收益的折现」。
2. 风险中性定价：在虚拟的风险中性世界中求期望、用无风险利率折现，可以得到正确的价格。
3. 对冲比率（Delta）：复制期权所需的股数，会随着股价和时间不断变化。
4. 美式期权：在每个节点比较持有与行权，自然地处理提前行权。

在实践中，二叉树（以及它的「亲戚」三叉树、有限差分法）至今仍被广泛用于美式期权和带股息期权的定价。

小结

• 在二叉树世界里，可以用「Δ 股股票 + 一笔借款」精确复制期权，期权价格就是复制组合的成本。
• 对冲比率 $\Delta =(C_u-C_d)/(S_u-S_d)$，它会随股价和时间变化。
• 风险中性概率 $p=(e^{r\Delta t}-d)/(u-d)$ 是计算工具，用它求期望并按无风险利率折现，与复制法结果相同；它不是真实概率。
• 多步二叉树从后往前计算；CRR 参数 $u=e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ 让树与波动率挂钩，步数越多越接近 Black-Scholes。
• 美式期权在每个节点取「继续持有」与「立即行权」中较大者。

下一课，我们让步数趋于无穷，看看那个改变了金融世界的公式——Black-Scholes——到底在说什么。