历史波动率

两只「平均收益」一样的股票

假设过去一个月里，股票 A 和股票 B 都上涨了 2%。从起点到终点看，它们一模一样。

但走势完全不同：A 每天的涨跌幅都在 ±0.5% 以内，一路缓慢爬升；B 却像过山车，今天涨 4%、明天跌 3.5%，最后碰巧也停在了 +2%。

如果你持有的是股票，二者到月底的结果相同。但如果你持有的是期权，差别就大了：在 B 这样的过山车上，股价有更大的机会冲到行权价之上（或跌到行权价之下），期权的「可能性」更值钱。这就是为什么期权交易者最关心的不是平均收益，而是波动率（Volatility）——价格变化的剧烈程度。

本课要做的，是把「波动得很厉害」这种感觉，变成一个可以计算、可以比较的数字：历史波动率（Historical Volatility, HV），也常被称为已实现波动率（Realized Volatility）。

第一步：用对数收益率描述每天的变化

计算波动率之前，先要把价格序列变成收益率序列。最直观的是简单收益率：今天比昨天涨了百分之几。但在波动率计算中，我们通常使用对数收益率（Log Return）：

r_{t} = ln (\frac{S _{t}}{S _{t - 1}})

其中 $S_{t}$ 是第 $t$ 天的收盘价。当每日变化不大时，对数收益率与简单收益率非常接近（例如从 $100 涨到 $102，简单收益率是 2.00%，对数收益率是 1.98%）。

为什么偏爱对数收益率？主要有两个原因：

可以相加。 连续多天的对数收益率之和，正好等于整段时间的对数收益率： $ln (S_{3} / S_{0}) = ln (S_{1} / S_{0}) + ln (S_{2} / S_{1}) + ln (S_{3} / S_{2})$ 。简单收益率则需要连乘。可加性让「把日波动率换算成年化波动率」变得非常自然。
与定价模型一致。 Black-Scholes 模型假设股价服从几何布朗运动，即对数收益率服从正态分布。用对数收益率估计出的波动率，就是模型里的那个 $σ$ 。

第二步：算出日波动率

有了收益率序列，就可以用统计学里的样本标准差来度量它的离散程度：

σ_{日} = \frac{1}{n - 1} t = 1 \sum n (r_{t} - \overset{r}{ˉ})^{2}

其中 $n$ 是收益率的个数， $\overset{r}{ˉ}$ 是收益率的平均值。分母用 $n - 1$ 而不是 $n$ ，是统计学中常用的无偏修正（样本越多，两者差别越小）。

下面用 7 个收盘价（得到 6 个日收益率）完整算一遍。

交易日	收盘价	对数收益率	减去均值后	偏差的平方（%²）
第 0 天	$100.00	—	—	—
第 1 天	$102.00	+1.9803%	+1.6502%	2.7232
第 2 天	$99.00	−2.9853%	−3.3153%	10.9915
第 3 天	$101.00	+2.0001%	+1.6700%	2.7890
第 4 天	$100.50	−0.4963%	−0.8263%	0.6828
第 5 天	$103.00	+2.4571%	+2.1271%	4.5245
第 6 天	$102.00	−0.9756%	−1.3057%	1.7048

从收益率到日波动率

6 个对数收益率的平均值： $\overset{r}{ˉ} \approx 0.3300%$ 。
把每个收益率减去平均值，再平方，合计约为 23.4157（单位：%²）。
除以 $n - 1 = 5$ ，得到样本方差约 4.6831（%²）。
开平方，得到日波动率 $σ_{日} \approx$ 2.164%。

也就是说，这只股票在这几天里，日收益率的「典型」偏离幅度大约是 2.16%。

第三步：年化——为什么乘以 √252

日波动率 2.16% 很难和别的数字比较：期权报价、波动率指数、研究报告用的都是年化波动率。换算公式是：

σ_{年} = σ_{日} \times 252

代入上面的结果： $2.164% \times 252 \approx 2.164% \times 15.87 \approx$ 34.35%。

这里的 252 是美股一年大约的交易日数。周末和节假日没有交易，价格基本不变化，所以年化时按交易日而不是 365 个日历日来计算。

关键问题是：为什么乘以 √252，而不是 252？

这意味着波动并不会随时间「平均掉」，但也不会成比例地放大。用年化 30% 的波动率举例：

时间跨度	计算	1 个标准差的波动幅度
1 天	30% × √(1/252)	约 1.89%
1 周（5 个交易日）	30% × √(5/252)	约 4.23%
1 个月（21 个交易日）	30% × √(21/252)	约 8.66%
1 年	30% × √(252/252)	30%

一个月的时间是一天的 21 倍，但典型波动幅度只是一天的 √21 ≈ 4.6 倍。

需要注意的是，「1 个标准差」并不是上限。如果收益率服从正态分布，大约 68% 的交易日涨跌幅会落在 ±1 个标准差以内，约 95% 落在 ±2 个标准差以内；剩下约 5% 的日子会出现更大的波动。而真实市场的大幅波动出现得比正态分布预测的更频繁——这就是我们会在模型的边界中讨论的「肥尾」。

动手算一算

下面的组件会按设定的「真实」年化波动率随机生成一段价格序列，然后按本课的方法一步步计算历史波动率。试着多生成几次：

生成数据时使用的「真实」波动率30%

样本长度（交易日）

每日对数收益率 ln(Pₜ / Pₜ₋₁)

天	收盘价	对数收益率
0	$100.00	—
1	$105.33	5.193%
2	$107.59	2.123%
3	$107.44	−0.140%
4	$107.00	−0.410%
5	$105.09	−1.801%
… 共 60 个收益率

① 日收益率均值0.290%

② 日收益率标准差 σ_日2.034%

③ 年化：σ_日 × √2522.034% × 15.87

历史波动率32.28%

生成数据用的真实波动率30%

样本越短，估计值离真实值的偏差往往越大。多点几次「换一组数据」感受一下估计误差。

你会发现两件有意思的事：

估计值总在真实值附近摆动。 即使「真实」波动率固定为 30%，用 60 天数据算出的历史波动率也可能是 26% 或 34%。历史波动率只是对真实波动率的一个估计，样本越短，误差越大。
同样的波动率，走势可以很不一样。 有时序列整体上涨，有时整体下跌，但波动率并不关心方向。

计算窗口：20 天还是 60 天？

历史波动率总要指定一个回看窗口，常见的有 10 日、20 日（约一个月）、30 日、60 日（约一个季度）、90 日、252 日（约一年）。窗口的选择是一个经典的取舍：

	短窗口（如 10~20 日）	长窗口（如 60~252 日）
对近期变化的反应	快	慢、滞后
估计误差（噪声）	大，一两天的大波动就能显著改变结果	小，曲线平滑
适合的用途	判断当前的波动状态、与短期期权的隐含波动率比较	判断长期的「正常」水平、与长期期权比较

一个常见的做法是让窗口长度与你关心的期权期限相匹配：分析 30 天到期的期权时，看 20~30 日历史波动率；分析一年期期权时，看更长的窗口。

收盘价算法的局限

本课介绍的方法叫作收盘价到收盘价（Close-to-Close）波动率，它简单、透明、应用最广，但也有明显的局限：

看不到盘中波动。 一只股票盘中涨 5% 又跌回原位，收盘价不变，对数收益率为 0，在这种算法里「什么都没发生」。
对跳空和事件敏感。 窗口中如果包含一次财报跳空（比如单日 −15%），它会主导整个估计值；而当这一天滑出窗口时，历史波动率又会突然大幅下降——这种「断崖」并不代表风险真的变了。
数据利用率低。 每天只用一个价格。

为此，研究者提出了利用开盘价、最高价、最低价信息的估计方法，例如 Parkinson（基于最高价和最低价）、Garman-Klass、Yang-Zhang 等。它们在相同样本长度下通常更有效率，但也各有假设。对入门者来说，理解收盘价方法就足够了，关键是知道它只是一个估计。