第 5 部分 · 希腊字母目录
Gamma：Delta 的变化速度
为什么期权买方「涨时多赚、跌时少亏」？为什么临近到期的卖方会如坐针毡？答案都藏在 Gamma 里。
- 理解 Gamma 的定义：标的变动 $1 时，Delta 的变化量
- 知道 Gamma 在平值附近最大，并随到期临近而急剧升高
- 用 ½ΓΔS² 解释多头 Gamma 为什么「大涨大跌都赚」、空头 Gamma 为什么怕大波动
- 认识临近到期的 Gamma 风险与 Pin 风险
从「斜率」到「弯曲」
上一课我们看到：平值看涨期权（标的 $100、30 天、隐含波动率 30%）的 Delta 约为 0.532。股价涨到 $101，Delta 升到约 0.578；涨到 $105，Delta 升到约 0.742；跌到 $95，Delta 降到约 0.303。
Delta 一直在变。而且股价越往上，Delta 越大——期权越来越像股票；股价越往下，Delta 越小——期权越来越不在乎股价。
描述「Delta 变化有多快」的希腊字母，就是 Gamma（Γ）。
上面那只平值看涨期权的 Gamma 约为 0.0462：股价从 $100 涨到 $101，Delta 从 0.532 增加约 0.046，变成约 0.578——和直接计算的结果一致。
在 Black-Scholes 模型中（无股息）：
其中 是标准正态分布的概率密度函数。这个式子里没有区分看涨还是看跌：同一行权价、同一到期日的看涨期权和看跌期权，Gamma 完全相同。这同样来自买卖权平价——两者的 Delta 之差是常数 1，对 S 再求一次导就是 0。
几何直觉：价格曲线的弯曲程度
如果把期权价格画成标的价格的函数，Delta 是曲线的斜率，Gamma 就是曲线的弯曲程度（凸性）。期权多头的价格曲线是向上弯的，所以 Gamma 为正。
这种弯曲带来一个重要的不对称：
- 只用 Delta 估算：涨 $5 赚 5 × 0.532 = $2.66，跌 $5 亏 $2.66，完全对称。
- 加上 Gamma 修正项 ：涨 $5 估算赚 2.66 + 0.58 = $3.24；跌 $5 估算亏 2.66 − 0.58 = $2.08。
- 实际重新定价：涨到 $105 时期权价格约 $6.80（赚 $3.21），跌到 $95 时约 $1.51（亏 $2.08）。加上 Gamma 项后，估算与实际非常接近。
这就是期权买方「涨时多赚、跌时少亏」的来源。泰勒展开写成：
第一项是方向，第二项是曲率。 永远是正数——对 Gamma 为正的头寸来说，无论标的往哪个方向大幅移动，曲率项都贡献正收益。
Gamma 在哪里最大？
平值附近最大
Gamma 衡量的是「Delta 还有多少变化空间」。深度实值期权的 Delta 已经接近 1，深度虚值期权的 Delta 已经接近 0，两者都没什么可变的；只有平值附近的期权，Delta 在 0.5 上下，股价稍有风吹草动就会明显改变。所以 Gamma 的形状像一座小山，山顶在行权价附近。
临近到期急剧升高
更重要的是时间维度。下表是标的 $100、隐含波动率 30% 时，三只看涨期权的 Gamma：
| 剩余天数 | $90（实值） | $100（平值） | $110（虚值） |
|---|---|---|---|
| 180 天 | 0.0148 | 0.0186 | 0.0183 |
| 90 天 | 0.0187 | 0.0265 | 0.0236 |
| 30 天 | 0.0198 | 0.0462 | 0.0274 |
| 7 天 | 0.0035 | 0.0960 | 0.0076 |
| 1 天 | ≈ 0 | 0.2540 | ≈ 0 |
平值期权的 Gamma 大约与 成正比：剩余时间缩短到四分之一，Gamma 大约翻一倍。到最后一天，平值 Gamma 是 30 天时的五倍多；而实值、虚值期权的 Gamma 则在临近到期时趋向于 0——它们的命运已经基本确定了。
用下面的图对比不同剩余期限的 Gamma 曲线，你会看到「小山」随着到期临近变得又高又尖：
把横轴换成时间，观察实值、平值、虚值三种期权的 Gamma 如何随剩余天数演变：
多头 Gamma 与空头 Gamma
多头 Gamma：越动越赚
买入期权（无论看涨还是看跌）的人持有正 Gamma。假设你买入 1 张平值看涨期权，同时卖出 53 股股票做 Delta 对冲，组合此刻 Delta ≈ 0。然后股价瞬间变动 $5：
为什么会这样？因为 Delta 在「帮你」：股价上涨时，你的 Delta 变成正数（像多了一些股票），于是继续上涨你赚得更多；股价下跌时，你的 Delta 变成负数（像做空），于是继续下跌你也赚钱。多头 Gamma 的头寸会自动「顺势加仓」。
如果你在股价上涨后卖出一些股票、下跌后买回一些股票，把 Delta 重新调回 0，你就实实在在地「低买高卖」了一次。这种通过反复再平衡来兑现 Gamma 收益的做法叫做 Gamma Scalping，我们会在 Delta 对冲一课中亲手模拟。
空头 Gamma：越动越亏
卖出期权的人持有负 Gamma，一切都反过来：股价上涨时 Delta 变得更负（越涨越像做空），下跌时 Delta 变得更正（越跌越像做多）。大幅波动时，空头 Gamma 总是站在错误的一边。上面的例子里，如果你是卖方并做了对冲，股价无论涨跌 $5，你都会亏掉约 $55~$58。
那为什么还有人愿意卖期权、持有负 Gamma？因为天下没有免费的午餐——多头 Gamma 要付「租金」，这份租金就是 Theta。买方每天都在损失时间价值，卖方每天都在收取时间价值。
到期前的 Gamma 风险
临近到期的平值期权 Gamma 极大，这意味着 Delta 会在很小的价格区间内剧烈摆动。看看剩余 1 天、行权价 $100 的看涨期权：
| 股价 | $98 | $99 | $100 | $101 | $102 |
|---|---|---|---|---|---|
| Delta | 0.10 | 0.27 | 0.51 | 0.74 | 0.90 |
股价只要在 $98 到 $102 之间来回，这只期权的 Delta 就会在 0.1 和 0.9 之间摆动。如果你卖出了 10 张这样的期权，你的头寸 Delta 可能在几小时内从 −100 股变成 −900 股。对卖方来说，这就像握着一根随时可能被扯断的绳子。
这就是为什么很多卖方策略会在到期前几天主动平仓，而不是「扛到最后一天」：此时剩下的权利金已经很少，承担的 Gamma 风险却是最大的，收益与风险严重不成比例。
短期还是长期：同样的钱买到多少 Gamma？
既然 Gamma 临近到期最大，是不是买短期期权最划算？我们把三只平值看涨期权（标的 $100、隐含波动率 30%）放在一起比较：
| 剩余天数 | 价格 | Gamma | 每 $1 权利金买到的 Gamma | 每日 Theta | Theta 绝对值 ÷ Gamma |
|---|---|---|---|---|---|
| 7 天 | $1.70 | 0.0960 | 0.0566 | −$0.124 | 1.29 |
| 30 天 | $3.59 | 0.0462 | 0.0129 | −$0.062 | 1.35 |
| 90 天 | $6.41 | 0.0265 | 0.0041 | −$0.038 | 1.44 |
两个有意思的发现：
- 按每 $1 权利金计算，短期期权提供的 Gamma 多得多：7 天期权约是 90 天期权的 14 倍。这就是为什么想要「爆发力」的交易者偏爱临近到期的期权。
- 但每单位 Gamma 要付的「日租金」几乎一样：最后一列 Theta 与 Gamma 之比大致相同。在利率为 0 时，它恰好等于 ，与剩余期限无关（表中的差异来自利率项）。换句话说，Gamma 的「价格」是由隐含波动率决定的，而不是由到期日决定的。
所以短期期权并不是「便宜的 Gamma」，它只是把同样的租金和收益压缩到了更短的时间里：赚得快，亏得也快，对时机的要求更高。
常见策略的 Gamma
- 买入看涨、买入看跌、买入跨式、买入宽跨式：正 Gamma，喜欢大波动，付出 Theta。
- 卖出看涨、卖出看跌、卖出跨式、卖出宽跨式、铁鹰、铁蝶：负 Gamma，喜欢平静，收取 Theta。
- 垂直价差：Gamma 的符号取决于标的价格的位置——靠近买入的行权价时为正，靠近卖出的行权价时为负。
- 股票：Gamma 为 0。股票的 Delta 恒等于 1，没有曲率。所以单纯买卖股票只能调整 Delta，无法改变组合的 Gamma；要改变 Gamma，只能交易期权。
拖动下面这个买入跨式的「现价」，看看侧栏里的 Gamma 如何在行权价附近达到最大，并把「时间流逝」滑块拉到临近到期，观察到期前估值曲线如何越来越「尖」：
小结
- Gamma 是 Delta 对标的价格的变化率，也就是期权价格曲线的弯曲程度。同一行权价与到期日的看涨、看跌期权 Gamma 相同。
- 买入期权 = 正 Gamma；卖出期权 = 负 Gamma；股票的 Gamma 为 0。
- Gamma 在平值附近最大，并随到期临近急剧上升（约与 1/√T 成正比）；实值、虚值期权的 Gamma 临近到期时趋于 0。
- 价格变动时的曲率收益约为 ½Γ(ΔS)²：多头 Gamma 大涨大跌都赚，空头 Gamma 大涨大跌都亏。
- 正 Gamma 的代价是负 Theta；临近到期的平值空头头寸面临最大的 Gamma 风险与 Pin 风险。
多头 Gamma 要付租金，这份租金按天结算。下一课，我们来看时间价值是怎样一天天流逝的——Theta。